當你同時使用多個因子時，一個常見的問題是，這些因子之間常常互相關聯，會出現共線性問題。正交化處理，就是為了解決這個問題。本文想談談因子的正交化處理。
正交化
在多因子模型中，價值因子，如本益比，和規模因子，如市值，常常相關，小盤股的價值因子往往比大盤股更極端。動能因子和波動率因子也可能相關，高波動的股票通常動能也較強。如果不做正交化，你很難判斷一個因子的預測力是來自它本身，還是來自它與其他因子的相關性。
正交化的核心概念：把因子變成垂直的向量
正交化的數學本質，是把因子視為空間中的向量，然後讓它們互相垂直。想像兩條線，如果它們的夾角是90度，就是正交的。在因子空間中，正交的因子之間相關係數為零，彼此獨立。
在量化因子處理中，正交化是通過線性變換實現的。具體來說，就是把一個因子分解為兩部分：一部分可以被其他因子解釋，投影到其他因子上的分量，另一部分是獨有的，殘差。正交化後的新因子，本質上就是這個獨有的殘差。
Gram-Schmidt正交化
Gram-Schmidt正交化是將一組相關因子轉化為一組正交因子最常用的方法。這個過程非常直觀：從第一個因子開始，逐步移除每個新因子與前面所有因子的相關部分。
假設你有三個因子 F1、F2、F3，它們之間可能存在相關性。Gram-Schmidt正交化的步驟是這樣的：
- 第一步，保持 F1 不變，記為正交因子 G1 = F1。
- 第二步，將 F2 中與 G1 相關的部分去掉，得到 G2 = F2 - b × G1，其中 b 是 F2 對 G1 做回歸的係數。
- 第三步，將 F3 中與 G1 和 G2 相關的部分都去掉，得到 G3 = F3 - b1 × G1 - b2 × G2。如果還有更多因子，就重複這個過程。
實際上，這個過程就是對因子做一系列迴歸，每次用一個新因子對所有已經正交化的因子做迴歸，然後取殘差。實務上，這等同於對整個因子矩陣做QR分解，然後取 Q 矩陣（正交矩陣）作為新因子。
正交化的局限
正交化雖然解決了共線性問題，但它也有一個代價：解釋性下降。正交化後的因子已經不是原來的因子了，而是剔除了其他因子影響後的殘差。例如，正交化後的價值因子已經不是本益比了，而是本益比中與動能、波動率、規模等因素無關的部分。這對於需要向投資人解釋策略邏輯的交易者來說，可能會增加溝通難度。
另一個需要注意的是，正交化處理依賴於樣本期間的相關結構。如果市場結構發生變化，過去的正交化關係可能不再適用，需要定期重新計算。在實務上，正交化後因子的時間序列平穩性通常較差，容易出現異常值或不穩定的波動。
原文出處：voltima_quant (@voltima_quant) 於 Threads · 查看原文
