我們用歷史平均報酬來估計因子的預期報酬，但這個估計充滿雜訊，且均值變異數最佳化對估計誤差極度敏感。本文想談談貝氏收縮的數學原理與應用。
為什麼因子報酬估計需要收縮
要理解收縮的必要性，先要理解因子報酬估計的誤差結構。
假設某個因子在樣本期間內的真實預期報酬為 μ，樣本估計值為 μ̂。若因子報酬的標準差為 σ，樣本數為 T，則樣本估計值的標準誤為 σ / √T。這個標準誤就是估計誤差的來源。當 T 不大、或 σ 很大時，標準誤就會相當可觀。
舉例來說，若某因子的年化波動率為 10%，我們用五年的月度數據來估計其平均報酬，則樣本數 T = 60，月度標準差約為 2.89%，標準誤約為 2.89% / √60 ≈ 0.37%。換算為年化，標準誤約為 1.29%。這意味著，即使真實的預期報酬是 3%，樣本估計值也可能落在 1.7% 到 4.3% 之間。若我們直接用樣本估計值來做配置，權重就會因為這 1.29% 的估計誤差而產生劇烈波動。
更嚴重的是，均值變異數最佳化的權重公式為 w = (1/δ) × Σ⁻¹ μ。這個公式對 μ 是線性的，但對 Σ⁻¹ 卻是非線性的。當 μ 的估計誤差被 Σ⁻¹ 放大時，權重就可能變得極端。
貝氏收縮的目的，就是降低 μ 的估計誤差，從而穩定權重。
貝氏收縮的數學框架
貝氏收縮的數學基礎是貝氏統計。在貝氏框架下，我們對參數 μ 有一個先驗分佈，並用樣本數據來更新這個分佈，得到後驗分佈。
假設我們對因子預期報酬 μ 的先驗分佈是一個常態分配：
μ ~ N(μ₀, τ²)
其中 μ₀ 是先驗均值，τ² 是先驗變異數。τ² 反映了我們對先驗的信心，τ² 愈小，代表我們愈相信先驗均值；τ² 愈大，代表我們對先驗均值愈不確定。
樣本數據提供的訊息是：樣本平均報酬 μ̂ 服從常態分佈：
μ̂ | μ ~ N(μ, σ²/T)
其中 σ² 是因子報酬的變異數，T 是樣本數。σ²/T 就是樣本估計的變異數，也就是估計誤差的來源。
根據貝氏定理，後驗分佈也是常態分佈，其均值為先驗均值與樣本均值的加權平均：
μ_post = w × μ₀ + (1 - w) × μ̂
其中權重 w 為：
w = (σ²/T) / (σ²/T + τ²)
這個權重 w 就是收縮強度。當樣本估計的變異數 σ²/T 很大時，w 接近 1，後驗均值接近先驗均值，收縮程度大。
換句話說，貝氏收縮自動根據樣本估計的可靠程度來決定收縮的幅度。這正是它比單純的樣本平均更穩健的原因。
先驗的選擇
貝氏收縮的關鍵在於先驗的選擇。先驗代表了我們在看到數據之前，對因子預期報酬的合理信念。先驗選得好，收縮就能有效降低估計誤差；先驗選得不好，收縮反而可能引入偏誤。
在因子模型中，常見的先驗選擇有幾種。
- 第一種是零先驗，即 μ₀ = 0。這個先驗假設因子在沒有數據支持的情況下，預期報酬為零。這個假設符合沒有免費午餐的經濟直覺，如果沒有證據顯示某個因子能帶來超額報酬，我們就應該假設它不能。零先驗的收縮會將樣本估計值向零拉回，使得估計值更保守。
- 第二種是共同均值先驗，即 μ₀ 設為所有因子的平均報酬。這個先驗假設所有因子的預期報酬大致相同，差異主要來自雜訊。共同均值先驗的收縮會將極端高估或低估的因子向平均拉回，使得因子之間的配置更加平衡。
- 第三種是經濟先驗，即根據經濟理論或歷史文獻來設定 μ₀。例如，若文獻顯示價值因子的長期溢酬約為每年 3%，我們可以將價值因子的先驗均值設為 3%。經濟先驗的優勢在於它引入了外部的知識，但缺點是這些知識本身可能不準確或已過時。
在實務中，我通常會先使用零先驗或共同均值先驗，因為它們不依賴於主觀的經濟判斷，且對估計誤差的防護效果較好。只有在有充分的外部證據支持時，才會考慮使用經濟先驗。
原文出處：voltima_quant (@voltima_quant) 於 Threads · 查看原文