ARIMA 是時間序列預測中最常用的模型之一，但它只允許差分參數d 是整數，不能讓 d = 0.5。本文想談談ARFIMA，它允許差分參數 d 取分數值，以及其應用。
ARFIMA的核心思想
標準的ARIMA(p,d,q)，d 只能是整數。d=1，做一次差分；d=0，我們直接對原始序列建模。但有些序列的行為就偏偏介於兩者之間，它需要差分，但不需要完整的一次差分。這就是分數差分的切入點。
分數差分算子 (1-B)^d 是通過二項式展開來定義的。當 d 在0到0.5之間時，序列同時滿足平穩性和長記憶性。這等價於一個無限階的自迴歸模型，其係數以雙曲速度緩慢衰減。正是這種緩慢的衰減，讓ARFIMA能夠捕捉到ARIMA無法描述的長期相依結構。
ARFIMA模型可以寫成 (1-B)^d φ(B) y_t = θ(B) ε_t，其中 φ(B) 和 θ(B) 分別是AR和MA多項式，d 是分數差分參數。當 d ∈ (0, 0.5) 時，序列具有長記憶性；當 d < 0 時，序列呈現反持續性；當 d = 0 時，退化為標準的ARMA模型。
ARIMA與ARFIMA的關鍵區別
ARIMA與ARFIMA的根本差異，在於它們對記憶結構的建模方式不同。
自相關的衰減速度是最明顯的區別。ARMA的自相關是指數衰減，落後1期相關性最大，落後2期小一些，落後10期大概就沒了。ARFIMA呢？雙曲衰減，慢得多。即使落後很遠，相關性還是掛在那裡，不理不睬。
預測表現。預測表現的差異則取決於你預測多遠。短期預測的時候，一個階數夠高的AR模型可能跟ARFIMA差不了太多。但預測期一拉長，ARFIMA的優勢就浮上來了。這意味著如果你做的是中長週期的策略，ARFIMA會比ARIMA更值得你花時間琢磨；但如果你只做隔日沖或日內交易，ARIMA大概就夠了，沒必要把模型搞得太複雜。
實務挑戰
穩定性。ARFIMA最大的麻煩在於參數估計的穩定性。樣本不夠大的時候，d 的估計值會晃來晃去，不太靠譜。
如果數據本身根本沒有長記憶結構，硬套ARFIMA只是白白增加複雜度，不會帶來好處。
原文出處：voltima_quant (@voltima_quant) 於 Threads · 查看原文
