價格序列看起來像是隨機漫步，但市場參與者的行為模式、經濟活動的季節性，以及投資人的心理循環，都可能在某些時間尺度上留下可被識別的週期性痕跡。本文想談談如何用傅立葉變換進行時間序列的頻譜分析。
傅立葉變換在做什麼
傅立葉變換的核心概念是，任何一個時間序列，無論看起來多麼複雜，都可以被分解為一系列不同頻率、不同振幅的正弦波與餘弦波的疊加。從低頻的長期趨勢到高頻的隨機雜訊，每一個頻率成分都對原始序列的形狀有所貢獻。
傅立葉變換的作用，就是將這個疊加的過程反過來，輸入原始的價格序列，輸出每一個頻率成分的振幅，代表該頻率對序列的貢獻程度與相位，代表該頻率在時間上的位置。
將輸出的結果繪製成圖，就是所謂的頻譜圖。頻譜圖的橫軸是頻率或週期，縱軸是振幅或功率，代表該頻率的強度。如果某個週期對應的縱軸數值特別高，代表價格序列中存在顯著的該週期性波動。
傅立葉變換的數學基礎是離散傅立葉變換，其公式為：
`X_k = Σ_{n=0}^{N-1} x_n × e^{-i 2π k n / N}`
其中 x_n 是原始時間序列的第 n 個觀測值，N 是樣本總數，X_k 是第 k 個頻率成分的係數。透過計算所有 k=0 到 N-1 的 X_k，我們就得到了該序列的完整頻譜。
在實務中，我們通常會關注頻譜中那些異常突出的峰值，因為它們代表了主導性的週期。一個顯著的峰值意味著該頻率成分對價格變動的貢獻明顯高於其他成分。
一個範例
為了更具體地理解傅立葉變換的效果，讓我們先看一個簡化的例子。
假設我們有一個價格序列，它是由三個成分疊加而成的，一個長期的上升趨勢，非常低頻、一個週期為 20 個交易日的波動、以及一些隨機雜訊。用肉眼觀察這個序列時，我們可能只看到價格在震盪中緩慢上升，無法明確地辨識出 20 天的週期。
當我們對這個序列進行傅立葉變換之後，頻譜圖上會在對應於 20 天週期的頻率位置出現一個明顯的峰值。這個峰值告訴我們：在該序列中，每 20 天重複一次的波動比其他頻率的波動更具影響力。
在真實的金融數據中，頻譜圖通常不會這麼乾淨。我們會看到許多大小不一的峰值散布在不同頻率上，代表價格的波動是由多個週期共同疊加而成的。我們的工作是從這些峰值中，篩選出那些真正有意義且穩定的週期。
侷限與注意事項
傅立葉變換假設頻率成分在整個時間序列中是固定不變的，也就是說，它假設 20 天週期的波動在樣本的每一段時間中都同樣顯著。但金融市場並非如此。一個在樣本前半段主導的週期，在樣本後半段可能完全消失。為了解決這個問題，可以使用短時傅立葉變換，計算不同時間窗口的頻譜，觀察週期結構是否隨時間而演化。
另一個需要注意的問題是，顯著的週期性並不等於可交易的機會。即使價格序列中存在顯著的週期，基於該週期的交易策略也可能因為交易成本、滑點或進出場時機的誤差而無法獲利。在將週期性納入策略之前，必須進行完整的回測來驗證其實際可行性。
週期性分析無法區分因果關係與相關性。一個週期的存在本身並不告訴我們價格為什麼會按照這個週期變動，它只是告訴我們有這麼一個規律。在將週期性納入策略時，必須搭配經濟邏輯來理解。
原文出處：voltima_quant (@voltima_quant) 於 Threads · 查看原文