@chinshumquantspeculation 琛哥前排有篇文提起 Kelly formula 的問題，今日嘗試繼續深入探討一下這個常常提起但更常被誤用的公式（尤其係被純 AI 帳號）。
Kelly formula 把每期財富對數期望值最大化的下注比例給出一個理論上的最優解。但它有一個很少被強調的性質：
- 那個最優解剛好停在破產的邊界上
- 而且它假設你完全知道勝率
最優解的位置，就在懸崖邊
在這個比例下，破產的機率趨近於零；只要把 exposure 再往加一點，最終破產就變成一個正機率的事件。也就是說，最優解是一個邊界上的點，並不是安全區中央的點。這在數學上沒有問題，在實務上卻很有問題。因為你必須對勝率的估計非常準，才能站在那個位置上。而且這個結論有一個前提：
- 賠率與勝率都是已知的常數
勝率高估一點，最優解就變成過度 exposure
如果真實勝率比你估計的低，那麼即使你用的公式完全正確，算出來的槓桿也會讓最終歸零的機率不再是零。而勝率的高估幾乎是必然的，因為你的估計來自有限的樣本。
把這件事放進模擬會看到很清楚的結果：在樣本很短的情況下，用一半比例下注的策略平均對數財富成長率最高，而且沒有任何一個策略破產；只有當樣本變得很長，用後驗分布的最佳估計去下注的策略才開始勝出。換句話說，問題不在公式，在於你餵給公式的數字。
尾部風險會讓最優解直接消失
把報酬分布換成有崩盤下界的版本，結果更極端。在某些參數下，最優解是「完全不應該下注」。把分布的平均值調高之後，最優解才變成正數，但它仍然非常接近那個會導致必然歸零的槓桿水準。這說明最優倉位對分布的尾部形狀極度敏感，而尾部正是你最沒有資料的地方。同時也要記得，那個在網路上流傳的簡化公式經過多次近似，在真實市場裡並不可靠。
多資產版本的問題在共變異數矩陣
多資產版本需要對共變異數矩陣取反。問題是這個反矩陣極不穩定：對高度相關的資產，共變異數矩陣接近奇異，參數一點微小的改動就會讓反矩陣大幅改變，權重也跟著失控。實務上會對這個矩陣做正則化，用一點偏差換取變異的下降。
同樣的邏輯也解釋了為什麼固定倍數的 Kelly 並不是好答案：與其用一個靜態比例，不如用滾動視窗重新估計、對近期資料加權，並且在偵測到狀態改變時重設。
其實並非這個準則的數學有錯，真正難的是：在勝率與尾部形狀都只能估的情況下，決定自己要離那個邊界多遠。
原文出處：voltima_quant (@voltima_quant) 於 Threads · 查看原文